Статья 3316

Название статьи

О СЕРДЦЕВИНЕ ГРУППОВОЙ ТРИ-ТКАНИ

Авторы

Михеева Анна Александровна, аспирант, Тверской государственный университет (Россия, г. Тверь, ул. Желябова, 33), heathjensen@yandex.ru

Индекс УДК

514.763.7

DOI 

10.21685/2072-3040-2016-3-3

Аннотация

Актуальность и цели. Дифференциальную геометрию многомерных три-тканей начал изучать в 1920-е гг. XX в. В. Бляшке, позднее С. Черн, М. А. Акивис и др. Особое место в теории многомерных три-тканей занимают ткани Бола, на которых естественным образом возникает структура симметрического пространства. Она определяется на базе одного из слоений ткани Бола с по- мощью некоторой бинарной операции, называемой сердцевиной этой ткани. В частности, такая операция возникает на групповой три-ткани W(G) , порож- даемой группой Ли G . Сердцевина ткани Бола исследовалась в ряде работ, но ряд важных вопросов остался неизученным, в частности, не найден вид канонического разложения для сердцевины, не описаны ткани Бола с одной и той же сердцевиной. Цель настоящей работы – найти указанное каноническое разложение, описать свойства сердцевины групповой три-ткани, найти условия, характеризующие групповые три-ткани с изоморфными сердцевинами.
Материалы и методы. Для изучения сердцевины тканей Бола применяются методы классической дифференциальной геометрии, тензорное исчисление, модифицированный метод внешних форм и подвижного репера Эли Картана, используется теория групп Ли и результаты предыдущих работ.
Результаты. В работе найден канонический вид разложения в ряд Тейлора для сердцевины левой три-ткани Бола, вычислены соответствующие комму- татор и ассоциатор. Показано, как сердцевина групповой три-ткани CW(G) выражается через групповую операцию в G ; исходя из ряда Кэмпбелла - Хаусдорфа группы G найдено разложение в ряд для сердцевины. Доказано, что сердцевина CW(G) эквивалентна сердцевине исходной групповой три- ткани W(G) ; симметрическая связность, определяемая сердцевиной на базе первого слоения ткани W(G) , совпадает с третьей связностью Эли Картана на группе Ли G ; правые сдвиги в группе являются автоморфизмами ее сердцевины. Получены условия, при которых две групповые три-ткани имеют общую сердцевину. Доказано, что группа G является нильпотентной высоты 1 тогда и только тогда, когда определяемая сердцевиной три-ткань CW(G) является параллелизуемой. Рассмотрены сердцевины групповых три-тканей, порожденных группой аффинных преобразований на прямой и группой Гейзенберга.
Выводы. Оказалось, что тензор кручения сердцевины равен нулю в единице e координатной лупы, но тензор кривизны, вообще говоря, в e нулю не равен. Найдены условия, при которых две групповые ткани имеют общую сердцевину, что позволяет в будущих работах более детально изучить вопрос о свойствах групповых три-тканей с общей сердцевиной.

Ключевые слова

три-ткань, групповая три-ткань, три-ткань Бола, сердцевина три-ткани Бола.

Скачать статью в формате PDF
Список литературы

1. Белоу сов, В. Д. Сердцевина лупы Бола / В. Д. Белоусов // Исследования по общей алгебре. – Кишинев, 1965. – С. 53–65.
2. Белоу сов, В. Д. Основы теории квазигрупп и луп / В. Д. Белоусов. – М. : Наука, 1967. – 223 с.
3. Толстихина, Г. А. О три-ткани, определяемой сердцевиной левой три-ткани Бола / Г. А. Толстихина, A. M. Шелехов // Известия вузов. Математика. – 2014. – № 12. – С. 83–88.
4. Шелехов, А. М. О структурных уравнениях три-ткани, определяемой сердцевиной левой три-ткани Бола / А. М. Шелехов, Г. А. Толстихина // Известия вузов. Математика. – 2015. – № 8. – С. 75–84.
5. Гегамян, Г. Д. Левые три-ткани Бола с тривиальной сердцевиной : дис. … канд. физ.-мат. наук : 01.01.04 / Гегамян Г. Д. ; Гос. инженер. ун-т Армении (Политехник). – Ереван, 2013. – 180 c.
6. Акивис, М. А. Многомерные три-ткани и их приложения : моногр. / М. А. Акивис, A. M. Шелехов. – Тверь : Изд-во ТвГУ, 2010. – 308 с.
7. Толстихина, Г. А. Обобщенная левая три-ткань Бола Bl (, r, r) как фактор-ткань левой ткани Бола ( , , ) l B r r r / Г. А. Толстихина // Вестник Тверского государственного университета. Сер. Прикладная математика. – 2011. – Вып. 2 (21). – С. 117–134.
8. Толстихина, Г. А. О локально симметрической структуре, связанной с обобщенной левой три-тканью Бола Bl ( p, q, q) / Г. А. Толстихина // Геометрiя, топологiя та iх застосування : зб. праць Iн-ту математики НАН Украiни. – 2009. – Т. 6, № 2. – С. 247–255.
9. Лоос, О. Симметрические пространства / О. Лоос. – М. : Наука, 1985. – 207 с.
10. Сабинин, Л. В. Теория гладких луп Бола / Л. В. Сабинин, П. О.Михеев.–М.:Изд-во РУДН,1985.–80с.
11. Картан, Э. Геометрия групп Ли и симметрические пространства/Э.Картан.–М.:ИИЛ,1949.–119с.
12. Дынкин, Е. Б. Вычисление коэффициентов в формуле Campbell’a-Hausdorff’a / Е. Б. Дынкин // Доклады Академии наук СССР. – 1947. – Т. 51, № 4. – С. 323–326.
13. Михеева, А. А. О шестимерных левых три-тканях Бола с общей сердцевиной / А. А. Михеева, Г. А. Толстихина // Известия вузов. Математика. – 2014. – № 10. – С. 1–12.

 

Дата создания: 28.11.2016 13:42
Дата обновления: 19.12.2016 10:35